10 Mart 2010 Çarşamba

Sonsuzu Sayabilir miyiz?

Geçen dönem ve bu dönem aldığım derslerin dışında matematik bölümünün birkaç dersini de takip ediyorum. İlk dönem "Matematiksel Yapılara Giriş" şeklinde bir dersle temel kanıtlama metodları, fonksiyonlar, bağıntılar, küme teorisi ve temel cebirsel yapılar üzerine çalıştık. İlkokul birden beri matematik görüyorum fakat bu dersle matematiği daha yeni yeni öğreniyormuşum hissi uyanmaya başladı. Onca senedir nerden geldiği belli olmayan doğal sayılar, sayı doğruları, işlemler, kümelerle uğraşmış ve hiçbirinin temelini sorgulamamıştım. "1 nedir?", "bir kümenin eleman sayısı ne demektir?" gibi sorular pek kafama takılmamıştı, doğal olarak çoğu insanın takılmadığı gibi. Aldığım bu derste tüm bu kavramların tek tek belirli aksiyomlardan oluşturularak bir yapı gibi inşa edilmesi önüme bambaşka bir dünya araladı. Bu dönem de "Ayrık Matematik" adlı dersle sayı teorisi, graf teorisi, kombinatorik, olasılık gibi biraz daha uygulamalı matematik konularıyla uğraşacağız. İşin içine "uygulama" girdiğinde bende biraz karın ağrısı yaratsa da dersi verecen hocanın anlatımı bu durumu hissettirmiyor bile...

Bunca muhabbeti neden yaptın diye sorarsanız da, ilk cevabım "artık böyle..." şeklinde olacak. İkinci ve okuyanı daha fazla ilgilendiren cevap ise bu derslerde sıklıkla karşıma çıkan ve bu ay NTV BLM'de Haluk Oral'ın , geçen iki ay da Bilim ve Teknik Dergisi Matematenya köşesinde Muammer Abalı'nın değindiği "sonsuzluk" konusu hakkında birşeyler karalamak istiyorum da ondan. Yoğun uğraşlarım sonucunda bloga LaTeX de ekledim, artık bol sayılı, denklemli yazılar yazabileceğim... Haydi başlayalım...

Sonsuzluk kavramı gerçekten çok ilginç bir kavram. Bu kavramı alıp evirip çeviren, şekilden şekile sokan onlarca insan, yüzlerce öğreti, binlerce din var... Bizi bunlardan ziyade bu yazıda matematiksel sonsuzluk ilgilendirecek.. En başından yazının ana fikrini ortaya koyayım . İki tür sonsuzluk vardır: sayılabilen sonsuzluk ve sayılamayan sonsuzluk... Öncelikle "saymak" ne demek?

Matematikte hemen herşey kümelerle ifade edilir. Yakından bildiğimiz $1,2,3, .. $ diye devam eden sayılara doğal sayılar kümesi diyoruz ve = $\{0, 1, 2, 3, ... \}$ ile gösteriyoruz. Bu küme içerisinde sıfır elemanı olmasına rağmen genelde yok sayılır ve doğal sayılar 1'den başlatılır (sayma sayıları diye hatırlayabilirsiniz...) Şimdi herhangi bir kümenin elemanları saymak için bu kümenin her elemanını bir tane doğal sayı ile eşlemeliyiz. Bunu NTVBLM'deki yazısında Haluk Hoca çok güzel örneklemiş. Koyunlarını sayan bir çoban var ve çoban ağıldan çıkan her koyun için sepete bir taş koyuyor, akşam ağıla sokarken de sepetten bir taş çıkartıyor. Eğer sepetten çıkardığı taş sayısıyla içeri giren koyun sayısı aynıysa bütün koyunların içeri girdiğini varsayıyormuş, elinde fazla taş kalırsa da koyun eksik demek...Tıpkı burada koyunları oluşturan kümeyi sayarken taşlarla eşleme yapan çoban gibi biz de saymak istediğimiz kümenin eleman sayısını bulmak için doğal sayılarla eşlemeye çalışacağız. Her sayıya 1'den başlamak üzere etiketleyeceğiz gibi düşünülebilir...

Bunu ifade ederek en baştan doğal sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu göstermiş olduk zaten. Doğal sayılar kümesinden doğal sayılar kümesine kolaylıkla bir eşleme yapabiliriz. Örneğin 1'i 1'le eşlerim, 2'yi 2'yle, 3'ü de 3'le ve bu böyle gider. Bu işlem sonsuza kadar gitse de açıkta hiçbir eleman kalmayacağını garanti edebilirim. Dolayısıyla doğal sayılar kümesi sonsuz eleman içerir ve sayılabilir.

Peki şimdi şu kümeye bir bakalım . Kümemizin adına $S$ diyelim ve bu kümenin elemanları da sıfırdan büyük çift sayılar olsun. Bu kümeyi şöyle gösterebiliriz : ${2, 4, 6, ...}$ . Bu kümenin eleman sayısını bulmak istiyoruz. İlk bakışta bu kümenin sonsuza kadar devam edeceğini görmek güç değil fakat asıl soru bu kümeyi doğal sayıları kullanarak sayabilir miyiz? Şimdi bu kümenin bütün elemanlarını 2 parantezine alalım : $2\times\{1, 2, 3, 4, ... \}$

Her bir sayıyı $2\times n$ şeklinde yazdım ve yukarıda parantez içindeki sayılara baktığımızda 1'den sonsuza kadar gittiğini görebiliyoruz. Yani bu kümenin ilk elemanı 1'i 2 ile 2'yi 4 ile 3'ü 6 ile 4'ü de 8 ile eşleyebilirim ve bu eşlemeyi sonsuza kadar yapabilirim. Yani ilk başta verdiğim doğal sayılar kümesi ile ikinci S kümesinin her elemanını birebir eşleyebilirim. Bu da her iki kümenin eleman sayısının aynı olduğunu gösterir. Bu sonuç normal görünebilir ama bir de şöyle düşünelim; Sonsuz elemanlı doğal sayılar kümesinden bütün tek sayıları çıkararak elde ettiğim $S$ kümesinin de sonsuz elemanı var. İşte bu şekilde elemanları doğal sayılar kümesiyle birebir eşlenen kümelere sayılabilir kümeler ve bu kümelerin eleman sayılarının da sayılabilir sonsuzlukta olduğunu söylüyoruz. Bu sayılabilir sonsuz sayıya da Aleph-0 diyoruz ve $\aleph_0$ olarak gösteriyoruz...

Bu konu üzerine anlatılan çok ünlü bir örnek vardır Hilbert Hoteli diye. Örnek şu şekilde : Kapı numaraları doğal sayılar olan (yani sayılabilir sonsuzlukta) odalardan oluşan bir hotelin tamamının dolu olduğunu düşünelim, hiç boş oda yok.

Hotel sahibi işlerden memnun bir şekilde otururken bir kişi geliyor ve bir oda istiyor, fakat odaların hepsi dolu...Hotel sahibi akıllı tabii, hemen konuklara rica ediyor : "Herkes eşyalarını toplayıp hemen yanındaki, yani bir sonraki odaya taşınsın." Yani 1'de kalanlar 2'ye, 2'de kalanlar 3'e, 4'te kalanlar 5'e şeklinde... Sonuçta sonsuz sayıda oda olduğundan ve dolayısıyla her bir odanın sonrasında da bir oda olduğundan herkes yerleşebileceği bir oda buluyor ve 1 numaralı oda açıkta kalıyor. Yeni gelen konuk da yerleştiriliyor...

Otel sahibi bugün iyi gününde olduğunu düşünürken hotele sayılabilir sonsuzlukta yolcusu olan bir otobüs yanaşıyor. Yani yolcuların sayısıyla hoteldeki oda sayısı aynı. Bu arkadaşlar da yerleşmek istiyorlar fakat görünüşe göre hotelde yine yer yok. Hotel sahibi matematik zekasını kullanarak şöyle bir çözüm öneriyor: Otelde kalan konukların her biri eşyalarını toplayıp oda numarası kendi oda numarasının iki katı olan odalara yerleşsin. Yani 1 numaralı odada kalan 2'ye, 2'de kalan 4'e, 3'te kalan 6'ya, 4'te kalan 8'e şeklinde... Elimizde sonsuz oda olduğuna göre herkes bu şekilde bir odaya yerleşebilir ve sonuçta elimizde 1, 3, 5, 7, 9,... şeklinde devam eden tek sayı numaralı odalar kalır. Yukarıdaki örnekteki gibi tek sayıların da sayılabilir sonsuzlukta olduğunu bildiğimizden hotele yeni gelen bütün yolcular için yeni yer açılmış oldu. Bu örneği daha da genişleterek hotele içinde sozsuz tane yolcu bulunan kaç tane otobüs gelirse gelsin her bir yolcu için yer bulabileceğimizi gösterebiliriz. Bunun için her defasında kişileri oda numaralarının belirli bir katı olan odalara taşımamız yeterli. Peki otele sonsuz sayıda yolcu içeren sonsuz tane otobüs yanaşırsa ne yapabiliriz? Bu da size düşünmek için küçük bir problem? Cevapları yorum kısmından tartışabiliriz...

Bu yazıda sayılabilen sonsuzluktan bahsettik ama asıl ilginç olanı yani "sayılamayan sonsuzluğa" hiç girmedim. Bundan sonraki yazımın konusu da bu olacak...

1 yorum:

cahit dedi ki...

Çok ilgimi çekti
teşekkürler

Paylaş!

 

Copyright © 2010 Gök Günce | Blogger Templates by Splashy Templates | Free PSD Design by Amuki