Rubik Küp 20 Hamlede Çözüldü!

Bütün zamanların belki de en yaygın puzzle’ı diyebileceğimiz, 1974’de Macar mimar Erno Rubik tarafından tasarlandıktan sonra tüm Dünya’da üç yüz milyonun üzerinde satan ( korsanlarını hesaba katmadan :) ) sihirli bir “oyuncak” Rübik Kübü. 3X3X3 boyutlarındaki kübün her bir yüzündeki küçük dokuz kübü aynı renkte bir araya getirmek amaç; ne kadar basit gibi dursa da çözümü hiç de o kadar kolay değil! Her ne kadar düzenlenen çeşitli yarışmalarda “sinir bozucu veletlerin” on saniyenin altında çözebildiğini biliyor olsak da kübün en optimum çözümü yani en kısa yoldan çözümleri konusu değme matematikçileri yıllardır zorlayan cinsten. Nihayet, yıllardır süren tüm bu uğraşmalar sonunda meyve verdi ve kübün çözümündeki “Tanrı Sayısı” bulundu : 20.

Peki bu sayı ne anlama geliyor? Konuyu biraz açalım. Orta halli bir insanın hayatında en az bir kere, bir Rubik Kübü eline alıp az çok uğraştığını (çoğu zaman da bikıp bir kenara attığını da not edip) göz önüne alarak, temel tanımlamaları geçip biraz matematik yapalım. Öncelikle ufak bir hesapla kübü karıştırdığımızda elde edebileceğimiz farklı tüm konfigürasyonların sayısını  43,252,003,274,489,856,000 buluruz. 43 milyar kere milyar…

Problemimiz şu: öyle bir sayı var mı ki, biz bu sayıya “Tanrı Sayısı” diyelim, hiç bir küp konfigürasyonunun çözümü bu sayıdan daha fazla hamleye gerek duymasın. (Tanrı sayısı denmesinin sebebi en optimum/ideal sonuç olduğunu vurgulamak için - talihsiz isimlendirmelere bir örnek daha...)
Bu konfigürasyonları çözmek için gereken hamle sayılarını analiz etmek için biraz düşünelim: Elimizde tamamlanmış/çözülmüş her yüzeyi farklı renkte, yani aynı renkli dokuz ufak kübün aynı yüze yerleştiği başarılı konfigürasyonu düşünelim. Kübün mekanik yapısı gereği her bir yüzünü saat yönünün her iki yönünde de 90, 180, 270 ve 360 derece döndürebiliyoruz (360 derecelik dönüş doğal olarak aynı sonucu veriyor-birşey değiştirmiyor). O halde sadece bir hamle yaparak çözebileceğimiz konfigürasyonyon sayısını hesaplamak, çözülmüş kübün herhangi bir altı yüzünü 3 farklı yönden birisi yönünde çevirmeyle elde edebileceğimiz konfigürasyonlara eşit. Yani 6x3=18 konfigürasyon sadece bir hamle ile çözülebiliyor. Elimizdeki bu konfigurasyon üzerinden devam edip döndürdüğümüz yüz dışındaki 5 yüzü de yine üç farklı yönün birinden çevirerek (ilk durumdaki her bir durumu hesaba katarak) 18x15=270 farklı konfigürasyon elde ederiz. Bu da iki hamlede (iki döndürme ile) çözülebilecek konfigürasyon sayısı.(Dikkat ederseniz ilk adımda döndürdüğümüz yüzü ikinci adımda saymadık, çünkü ilk adımın üstüne tekrar aynı yüzü çevirmek bize gene aynı yüzlerden birini verecek.) Benzer şekilde 3 hamle gereken konfigürasyonlar 18x15x15; 4 hamle gerekitirenler de 18x15x15x15 şeklinde devam ediyor.

Bu hesaplamalarımızı 15 hamle gerektiren konfigürasyona kadar tek tek yapıp çıkan sonuçları topladığımızda ilk başta verdiğimiz 43 milyar kere milyar konfigürasyon sayısından biraz daha küçük bir sayı elde ederiz. Bu da şu demek oluyor: öyle küp konfigürasyonları var ki ancak 16 veya 16’dan daha fazla hamle ile çözlüyorlar. Yani bu analize göre Tanrı Sayısı için alt sınır 16 diyebiliriz. Uzun araştırmalar sonucu bahsettiğim teknikten biraz daha farklı ve karışık teknikler kullanılarak çözüm için alt sınırın minimum 20 olduğu ispatlandı. Bu haliyle analizimiz, ancak 20 veya 20’den fazla hamlede çözülebilen konfigürasyonların da olduğunu gösteriyor fakat bütün konfigürasyonların en az 20 hamlede çözüldüğünü söylemiyor. Aradığımız sayıyı bulabilmek için üstten de bir sınırlama yapmamız gerekecek.


İşin en zor kısmı da, çözüm için üst sınır bulmakta. 1981 yılında her konfigürasyonu çözmek için 52 hamlenin yeteceği gösterildi ve sonraki yıllarda problemi çözmek için daha iyi algoritmalar geliştirilerek 2008’de bu sayı 25’e kadar çekildi. Milyarlarca konfigurasyonun, verimli bir algoritma kullanılsa bile yüzlerce saatlik işlemci zamanı ile ancak analiz edilebildiği düşünüldüğünde, üst sınır için yapılan her iyileştirme çabası doğal olarak daha da fazla kaynağa ihtiyaç duyuyor. Bütün zorluklara rağmen, 25 sayısını aşağı çekmek için çabalayan matematikçi Tomas Rokicki kendisine işlemci desteği veren Sony’yi de arkasına alarak aynı yıl içinde 22’ye kadar ulaştı. Konuyla ilgilenen hemen herkes “Tanrı Sayısı”nın 20 olduğunu tahmin etse de bu noktadan sonra ilerlemek çok çok zor görünüyordu. Taa ki Google devreye girip Rokicki’yi devasa işlemci kaynaklarıyla destekleyene kadar.. Sonuç tahmin edebileceğiniz gibi mutlu son! 2010 Temmuz’unda Tomas Rokicki ve grubu Rubik Kübün bütün kombinasyonlarının en fazla 20 hamlede çözülebileceğini ispatladılar. Yani 20 hamle bütün konfügrasyonları çözmek için yeterli bir sayı.


Peki, en başa dönersek, madem bu kübü  7-8 sn’de çözenler varsa, böyle bir sayıyı neden arıyoruz ki? Gerçek şu ki, “hızlı küpçüler” olarak anılan bu “dahiler”, belirli döndürme kombinasyonlarını ve küp yüzlerinin durumunu ezberleyerek ancak ortalama 45 hamlede çözüme ulaşabiliyorlar. Yani optimum sayının yakınına bile yaklaşamıyorlar. Tabi çözen kişi ne kadar çok kombinasyonu ve kübün yüzünü aklında tutarsa 20’ye o kadar yaklaşabilir, tabi insani sınırlamalar çerçevesinde.. Şu anda rekor 7.08 saniye ile Hollandalı Erik Akkersdijk’e ait. (Rekorların detayları için tıklayınız) [2020'den bir güncelleme - rekor Yusheng Du ile 3.08 sn'ye kadar inmiş...]

Rubik Kübü, oldukça basit görünen fakat çözümünün altında derin matematik yatan bir oyuncak. Bundan sonra elinize aldığınızda, dakikalarca uğraşıp sabrınız taşmaya başladığında, arkanıza yaslanıp derin bir nefes alın ve kübün en fazla 20 hamlede çözülebileceğini kendinize hatırlatın. Bu hamlelerin kolay olacağını hiç bir zaman garanti edemem ama!
Ayrıntılı Okumalar İçin:

• Cube Routes – Jason Palmer – New Scientist (6 August 2008) Rubik Kübün matematiksel çözümü konusunda harika bir yazı (Derginin gigapedia bağlantısı için tıklayınız )
• Rubik’s Cube in Ten Seconds or Less – Math Masters Küb ve çeşitli konfigürasyonların çözüm hesaplamaları hakkında güzel bir kaynak
• Cub20.org – “Tanrı Sayısı” 20’ye nasıl ulaştıklarının detaylı anlatımının olduğu site
• Beginners Solution to the Rubik’s Cube – Kübün çözümü için önerilen temel kombinasyonlar ve çözüm yöntemleri
• Rubik’s Succes in Twenty Six Steps – Üst sınır 26 hesabının detaylı bir anlatımı

Rubik Küp illusturasyonları GNU Free Documentation License altında Plus dergisinin ilgili yazısından alınmıştır.