Matematiğin Nobeli Abel Ödülü 'dalgacıklar'a verildi!

Matematik bilimsel uğraşılar arasında en mütavazi olanlarından bana kalırsa. Diğer alanlarda türlü türlü ödüller, bunların başında Nobel Ödülü geliyor, verilmeden haftalar öncesinde tahminler, iddialar, tartışmalar; sonrasında ise daha hararetli tartışmalar, çoğu zaman hayal kırıklıkları ve bir süre boyunca yüzlerini ezberleyeceğimiz ödül sahipleri olur hep... Bilimin ve bilim insanlarının tanıtılması ve gündemde olması açısından bu belki iyi bir şey ama gel görün ki matematikçilerin ödüllerinde bu tip tantanalara rastlamak ne mümkün! Örneğin dün 21 Mart'ta verilen ve 'Matematiğin Nobel'i olarak anılan Abel Ödülü'ne dair bilim medyası dışında hemen hemen hiç haber görmedim. Bu durumun Alfred Nobel'in matematikçilerle 'özel' problemleri nedeniyle, matematikçilerin kendilerini dışlanmış hissetmeleriyle de hiç alakası olmadığını düşünüyorum! Üstelik 'dalgacık dönüşümü' (İng: wavelet transform) konusundaki katkıları nedeniyle Fransa'da École Normale Supérieure üyesi matematikçi Yves Mayer'e verilen ödül, modern günlük hayatımızın her köşesinde bir katkısı olan bu kavramı ön plana çıkarmak için en iyi fırsatı oluşturuyor!

Yves Mayer'i keşfinde rol oynadığı 'dalgacıklar' ile resmeden hoş bir görsel (Telif Hakkı: Olena Shmahalo/Quanta Magazine)

Etrafımızı sarmış dijital araçların her biri şu anda dış dünyadaki 'analog' bilgiyi (sinyali), yani zaman içinde sürekli, bölümlenmemiş bilgiyi 0'lar ve 1'lerle kodluyor (dijital sinyal). Örneğin telefonunuzda ses kaydettiğinizde, bir fotoğraf çekip kaydettiğinizde arka tarafta olan şey bu. Bununla birlikte iki problem karşımıza çıkıyor; bu bilgiyi bilgisayarımızın hafızasında nasıl saklayacağımız ve bu bilgiden tekrar aynı sinyali (hapörlenizdeki ses, ekrandaki görüntü) nasıl üretebileceğiz? Buna güzel bir örnek dinlediğiniz bir konserdeki şarkıyı (anolog sinyal) bir kağıt üzerindeki notalar (dijital sinyal) şeklinde ifade edebiliriz. Saatlerce süren bir konseri  birkaç sayfa içine sığdırabiliriz. Aynı şekilde başka bir müzisyen de bu notalara bakarak müziği tekrar oluşturabilir. Bilimde bu problemlerin çözümüne kafa yoran 'sinyal işleme' adında devasa bir alan var. Dijital dünyada veri analizinin artık bir nevi dili olan bu alanın en temel kavramları da elinizdeki sinyali dönüştürüp daha farklı bir şekilde ifade etmeye yarayan 'dönüşümler'.

Bu dönüşümlerin en ünlüleri belki de Fourier dönüşümleri. Elinizde herhangi bir forma sahip herhangi bir sinyali, Fourier fonksiyonları diye bildiğimiz trigonometrik sinüs ve cosinüs fonksiyonlarının toplamı şeklinde yazabiliyoruz. Trigonometrik fonksiyonlar belirli bir zaman aralığında kendini tekrar eden, periyodik fonksiyonlar. Bir sinyali bu fonksiyonlar cinsinden yazdığımızda o sinyalin içerisinde kendini tekrar eden parçaları çekip çıkarmış oluyoruz aslında; böylece bu parçaların hangilerin domine olduğunu anlayabiliyoruz. Bahsi geçen fonksiyonların sinyale katkılarını belirten katsayıları bir kenara yazıp, sonrasında bu sinyali (büyük bir doğrulukla) tekrar oluşturabiliyoruz. Aynı zamanda bütün bir sinyali tutmaktansa sadece bu katsayıları tutmak çok daha pratik oluyor.

Fourier analizini aşağıdaki animasyon çok güzel anlatıyor. Elimizde $f$ fonksiyonu olsun ve bunun içerisindeki periyodik komponentleri bulmaya çalışıyor olalım. Fourier analizi uyguladığımızda bize bize bu sinyali oluşturmak için gerekli sinus/cosinus fonksiyonlarının hangi frekansta ve ne kadar 'kuvvette' olmaları gerektiğini söylüyor. Animasyonun sonunda gösterilen $\hat{f}$ grafiği sinyalin dönüştürülmüş halini gösteriyor.

Kaynak: Wikipedia

Fourier analizi her sinyal için işe yarıyor derken birkaç noktayı göz ardı ettik; öncelikle bu analiz sinyalinizin istatistiksel olarak çok da değişmediği varsayımına dayanır; yani sinyalinizde ani sıçramalar, inişler ve çıkışlar birer problem oluşturur. Belki müzik için bu bir problem değil ama örneğin bir deprem sinyali için bu başlı başına sorun oluşturur çünkü bu durumlarda çoğu zaman ani ve şiddetli bir değişim söz konusudur. İki boyutlu bir sinyalde örneğin bir resimde (her x ve y koordinatı için bir renk değeri gibi düşünebilirsiniz) kendini tekrar eden ve yumuşak geçişlerin olduğu gökyüzü veya deniz manzaralarının yanında keskin köşelere sahip birçok yapı da bulunur. İşte bu noktalarda Fourier analizi çok da etkili çözümler ortaya koyamıyor.

Buna alternatif olarak geliştirilen yöntem ise 'dalgacık dönüşümü' yani 'wavelet transform'. Bu yaklaşım Fourier fonksiyonlarındaki gibi tamamen periyodik fonksiyonlar yerine belirli bir bölgede 'lokalize' olmuş fonksiyonları temel alıyor. Bu sayede yukarıda bahsettiğim 'keskin değişim' problemlerine etkili bir çözüm getirilmiş oluyor. Sinyalleri parçalara ayırmak için kullanılan fonksiyonlar tam bir dalga değil de 'dalga parçaları' olarak görülmelerinden ötürü 'dalgacık' (wavelet) olarak adlandırılmışlar. Dalgacık fonksiyonları tıpkı Fourier fonksiyonları gibi tüm sinyalleri ifade etmek için kullanılabiliyorlar ve bu fonksiyonlarla bir dönüşüm yapılıp hangi dalgacıkların sinyal içinde domine olduğu anllaşıldığında sinyali bu bilgilerden kolay bir şekilde tekrar oluşturmak mümkün. Bu yöntem sayesinde örneğin görüntü gibi sinyalleri çok daha etkili bir şekilde dönüştürüp, sıkıştırmak, depolamak ve tekrar oluşturmak mümkün oldu.

Görselin en üstündeki orijinal sinyalin solda Fourier dönüşümü ile, sağda ise dalgacık dönüşümü ile oluşturulması karşılaştırıldığında dalgacık dönüşümünü ani değişimi en altta çok daha iyi oluşturabildiği görülüyor. Aralardaki fonksiyonlar ise en alttaki sinyali oluşturmak için üst üste toplanan fonksiyonları gösteriyor.

1980'lerde Fransız bir mühendis Jean Morlet'nin ortaya attığı bu fonksiyonları geliştirip bütünsel bir çerçeveye sokan Yves Meyer'e 2017 Abel Ödülü işte bu dalgacık teorisine yaptığı önemli katkılardan ötürü verildi.

CERN'de geçirdiğim zamanda tezimde son iki ayım doğrudan bu konularla uğraşarak geçtiği için konuya ayrı bir hassasiyetim olduğunu belirtmeliyim. Neredeyse iki aydır bir sinyalin içerisinde periyodik komponentleri (chameleon parçacığı sinyalini) çıkarmak üzerine çalışıyorum. Fakat sadece bu neden 'sinyal işleme' olarak bilinen bu devasa alandaki bu tip gelişmeleri öne çıkartmak için yeterli sebep olmamalı elbette. Çünkü telefondan, bilgisayara, kameradan müzik çalara artık elimizin altındaki her şey bu insanların çabaları ve bu teorilerin sonuçları sayesinde tıkır tıkır çalışıyorlar. Günümüzde 'verili' olarak kabul ettiğimiz bu gelişmelerin altında çok ciddi matematiksel temeller olduğunu çoğu zaman aklımıza bile getirmiyoruz. Bu tip ödüller bunu öne çıkarıp hatırlatmak için varlar aslında. Her ne kadar matematikçiler 'düşük profilli' takılmaya çalışsalar da bu katkıların farkında olup gün yüzüne çıkarmanın görevimiz olduğunu düşünüyorum!

• Konuyla ilgili Abel Prize sayfasının ulaşılabilir bir dille hazırladığı dokumanlar için tıklayınız.

• Sinyal İşleme ve Dalgacık Teorisine dair konunun duayenlerinden Gilbert Strang'in Serious Science video sayfasında güzel kısa bir videosu için: Mathematics of Signal Processing

• Bir de asıl konumuz Fourier analizi olmasa da mekanik olarak Fourier analizi yapan şu muhteşem aleti de buraya not etmiş olalım: Introducing a 100-year-old mechanical computer