Bilimde 'güzellik' üzerine: Sarkaç ve Bilardo Topları

Yakın zamanda okuduğum güzel bir kitap fizikte 'güzel' diye tabir ettiğimiz, tıpkı sanatta ve diğer insan edimlerinde deneyimlediğimiz 'güzellikle' bağdaştırılabilecek yoğunlukta olan bu his üzerine biraz düşünmemi tetikledi. Boğaziçi Ünv. Yayınevi'nin yayınladığı baskısı ve çevirisiyle oldukça kaliteli kitaplardan biri olan 'Prizma ve Sarkaç: Bilimde En Güzel On Deney" ele aldığı bilimsel deneyleri bilim tarihi çerçevesinde inceleyip her birinin içinde barındırdığı özgünlük ve "güzelliği" tartışıyor. Bilimde on deney alt başlığına sahip olsa da deneylerin hemen hepsi fizik üzerine, fakat yazar tüm bu deneylerin gerçekleştirildikleri zamanda bilimsel alanların günümüzdeki gibi ayrışmadığı gerçeğine yaslanarak bu seçimini meşrulaştırıyor.

Bilimsel bir kavramı kulağa oldukça "öznel" gelen "güzel" gibi bir sıfatla betimlemek olayın doğasına aykırı gibi duruyor belki de. Bilimsel uğraşın onu gerçekleştiren insandan ve kaynağı olan sonsuz meraktan ayrılamayacağı gerçeği göz önüne alınırsa, bilimsel çalışma yapan kişilerin birçok teorem, kanıt veya deneye bu şekilde bir yakıştırmada bulunmaları aslında sıklıkla karşılaşılan bir durum. Herhangi bir sistemin işleyişini basit matematiksel formüllerle ifade edebilmek ve bunlar arasında ilişkileri gösterebilmek bir bakıma başlı başına estetik bir uğraş. Fakat bu estetiği genellikle 'elleri kirletmek' diye ifade edilebilecek deneysel çalışmalar için söyleyebilmek ilk etapta biraz sağduyuya ters geliyor. Kitabın da bilimdeki güzellik kavramını işleyen diğer kitaplardan farklı olarak deneylere yoğunlaşması ve bunların içinde dünyayı kavrayışımız, evrenin işleyişine dair çözdüğümüz problemler ve 'gerçekliğe' dair varılan bir aydınlanma adına bunlara atfettiği önem gerçekten farklı bir bakış açısı sağlıyor.

Kendi payıma fizikle uğraşmaya başladığımdan beri karşılaştığım birçok güzel deney ve teori oldu. Bu yazıda biri deneysel biri de teorik iki tane seçimimi paylaşayım istedim. Deneysel olan kitabın adında da geçen, Dünya'nın döndüğünü kanıtlayan Foucault Sarkacı deneyi, teorik olan ise klasik mekanikte (ağırlıklı olarak istatistiksel mekanikte) karşımıza çıkan 'ergodik sistem' kavramı ve bunun "bilardo topları" sistemine uygulanışı. Her ikisi de barındırdıkları temel fikirler ve basit düşünme biçimlerinden ortaya çıkan 'beklenmedik sonuçlar' nedeniyle ilk karşılaştığımda beni fazlasıyla etkilemiş, bana göre içinde muhteşem bir "güzellik" barından kavramlar.

Foucault Sarkacı
(Geçmişte yazdığım bir yazıdan alıntı)

1851’de Paris Gözlemevi’nin ünlü Meridyen Salonu, insanlığın Dünya’yı kavrayışının belki de en incelikli gösterilerinden birine sahne oluyordu: Dünya’nın dönüşünün deneysel olarak basit bir şekilde ilk defa gösterimine.. Deneyi yapan kişi akademiden epey uzak fakat yaptığı çalışmalarla dönemin en başarılı fizikçilerinden biri Léon Foucault..

Çok uzun bir telle, bir binanın tepesine asılan basit sarkacın salınım düzleminin bulunduğunuz enleme göre belirli bir hızla döndüğünü gösteriyor deney. Normalde günlük hayatımızda, salınım yapan sarkaçların ucundaki kütlelerin büyüklüklerinin küçük ya da iplerinin kısa olmasıyla gözleyemediğimiz bu hareketi, Foucault’nun yaptığı şekilde 28 kg’luk kurşun bir kürenin ucuna asılı olduğu 67 metrelik uzunluğunda bir tel ile yaparsanız Dünya’nın dönmesi sebebiyle oluşan “Coriolis Kuvvetleri” sebebiyle salınım düzleminin yavaş yavaş hareket ettiğini, Paris enlemlerinde yaklaşık 32 saatte tam bir tut attığını görebilirsiniz. Coriolis kuvvetleri, dönen sistemleri Newton Kanunları ile inceleyebilmek için sisteme eklenmesi gereken “hayali kuvvetlerden” biri (diğeri de “merkez-kaç kuvveti). Newton’un hareket kanunları ivmelenmeyen eylem çerçeveleri için yazıldığından, Dünya gibi kendi ekseni etrafında hızla dönen bir sistemde fazladan etkiler işin içine giriyor. Yani, Foucault sarkacının bu hareketi Dünya’nın sabit değil, ivmeli bir hareket yaptığını (kendi ekseni etrafında döndüğünü) birinci elden kanıtlıyor. (Animasyonun kaynağı: Wikipedia)

Foucault sarkacının salınım ekseninin bir tam tur atma süresi enlemden enleme değişiyor ve aşağıdaki bağıntı ile veriliyor: $$ T = \frac{1 gun}{\sin{\theta}} $$ θ değeri bulunduğunuz enlem değeri ve T de sarkacın tam tur atma periyodu (gün cinsinden). Örneğin 30 derece enlemlerinde bulunan bir yer için, sarkacın bir tam turu 2 günde tamamlanıyor (sin30 = 0.5). İlginç olan, kutuplarda tam bir günde bir tur atarken, ekvatorda salınım düzlemi değişmiyor (θ yerine 90 ve 0 değerleri koyduğunuzu düşünün).

Foucault bu gösterimini ilk yaptığında epey ilgi görmüştü fakat kendisi akademi dışından biri olduğu için birçok burnu kalkık akademisyen onu görmezden gelmişti. Fakat bu etkileyici deneyin söylentileri Paris çevrelerinde hızlıca yayılmış ve kısa bir süre sonra Paris’in en ikonik binalarından Panthéon’da da bir gösterim yapılmıştır. Bu gösterimle hemen hemen herkes Foucoult’nun deneyinin özgünlüğü ve etkisi konusunda hem fikir olmuşlardı.

Paris’te Foucault’nun bu deneyi özellikle bilim müzeleri tarafından ciddi anlamda sahipleniyor ve birçok müzede gösterimler yapılıyor. Geçen yıllarda ziyaret ettiğim Paris Musée des arts et Métiers müzesinde böyle bir gösterimi izlemiştim. Ayrıca Paris’in en merkezi yerlerinden birinde olan Panthéon’un içinde de devasa bir Foucault Sarkacı gösterimi yapılıyordu.

Paris Musée des arts et Métiers’de Foucault Sarkacı Gösterimi’nden

Paris Panthéon’daki dev Focoult Sarkacı

Foucault Sarkacı deneyi bana 1851 gibi geç bir tarihi nedeniyle hep etkileyici gelmiştir. Evreni algılayışımızda binlerce beyin, yüzlerce yıl birbirinden etkileyici teoriler, varsayımlar ortaya atmış fakat şunun şurasında daha 150 yıl öncesine kadar Dünya’nın kendi ekseni etrafında döndüğünü deneysel bir şekilde kanıtlayamamıştı. Geçmişte aldığım Deneysel Fizik dersinde, bilim tarihinde önemli bir deneyi seçip orijinal makalesinden deney hakkında detaylı bilgi edinmemiz gereken bir ödev sırasında epey okumuştum Foucault Sarkacı’na dair ve bana göre bu deney Bilim Tarihi’nin sadelik, estetik ve derinlik açısından en etkili deneyidir. Foucault Sarkacı, bana hep Arşimet’in ünlü sözünü çağrıştırıyor: “Bana yeteri kadar uzun bir çubuk verin ve Dünya’yı yerinden oynatayım”.. Foucault’nun durumunda da benzer bir “basitlik” var aslında : “Bana yeteri kadar uzun bir tel verin, size Dünya’nın döndüğünün en güzel kanıtını göstereyim!”

Ergodik Sistemler ve Bilardo Topları:

Kelime olarak kulağa karmaşık gelse de aslında fikir olarak basit bir kavram 'ergodik sistem'. Fizikte herhangi bir sistemi genelde iki farklı şekilde belirtiriz. Birincisi sistemin zaman içerisindeki devinimini, yani zamanla değişimini veren 'dinamik gösterim'; diğeri ise sistemin bütün durumlarını göz önüne alıp, bu durumların nasıl dağıldıklarını gösteren 'durum gösterimi'. Kısaca örnek vermek gerekirse; örneğin elimizde bir kutu içerisinde bilardo topları olsun. Bu bilardo toplarının konumlarını ve hızlarını en başta bilelim ve bunları serbest bırakalım, Newton'un hareket yasası çerçevesinde etkileşmelerini zaman içerisinde izleyelim. Etkileşmeler iki türlü olacak, ya bir biriyle ya da duvarla çarpışıp yollarına devam edecekler. İlk tipte olan yani 'dinamik gösterim', herhangi bir zamanda topların nerede oldukları (konum) ve hızlarının ne olduklarını ifade eden gösterim (altta):

Dinamik gösterimde, 1 x 1'lik bir kutuda dört bilardo topu, başlangıç hız ve konumları başlatılıp zamanla Newton'un hareket yasası gereği etkileşiyorlar. (Yukarıdaki simulasyonun temelindeki algoritma: Event-Driven Molecular Dynamics: Adler B. & Wainwright T. E. Phase Transition for a hard sphere system (1957))

İkincisi ise sistemin olabilecek tüm konum konfigürasyonlarının fotoğraf karesi olarak çekilmiş hallerinin bütünü. Birinci gösterimde zaman sistemi evrilten faktörken, ikincisinde karelerin her biri birbirinden bağımsız, sanki bir torbaya atılmış olan tüm olabilecek durumların bütününün içeriyor. Fotoğraf şeklinde olan durumlar, zamana bağlı olarak sistemin ilerleyişini gösteren durumlardan çok daha farklı şekilde oluşturuyorlar. Bunun için yapmamız gereken şey tüm olası durumları (fotoğraf karelerini) rastgele oluşturmak. Bunun için boş bir kutu ile başlayıp rastgele bir bilardo topu yerleştiriyoruz (bir top yerleştirmek o topun x ve y konumları için 0 ile 1 arasında birörnek dağılıma sahip (uniformly distributed) sayılar seçmek anlamına geliyor). Ardından bunu üç kez daha tekrarlıyoruz; herhangi bir top üst üste gelmediği sürece elde ettiğimiz durumu geçerli bir durum olarak etiketleyip, torbamıza atıyoruz (rastgele yerleştirdiğimiz toplardan biri diğerinin üzerine gelirse bu durumu çöpe atıp baştan başlıyoruz). Bu prosedürü defalarca tekrarlayıp bir sürü durum elde ediyoruz. Durumların elde edilişindeki rastgeleliğe dikkat etmelisiniz; herhangi bir şekilde bir fizik kuralından bahsetmeden rastgele kutuya toplar yerleştiriyorum. İlk gösterimde topların değişimi Newton'un ikinci yasası gereği değişiyorlardı, ikinci gösterimde ise (herhangi bir topun üst üste gelmediği) rastgele tüm durumları oluşturup torbaya atıyorum. (Detay: Bu şekilde fotoğraf kareleri elde etmek için Monte Carlo ve Markov Zinciri yöntemleri kullanılıyor.)

Tüm olası durumları gösteren ve rastgele konumlar atayarak oluşturulmuş "fotoğraf karelerinden" örnek sekiz tanesi yukarıda gösterilmiş. Karelerin birbiriyle üstteki animasyondaki gibi zamansal olarak birbiriyle bir ilişkisi yok gördüğünüz gibi, biri diğerinden bağımsız bambaşka bir durumu temsil ediyor. Bunlardan binlerce üreterek torbamıza koyuyoruz.

Gelelim vurucu kısma; ergodik teori bize şunu söylüyor: eğer elinizdeki sistem 'ergodik' olma şartlarını sağlıyorsa (ki bu şartlara burada değinmeyeceğim), bu sistemin herhangi bir dinamik değişkeninin (örneğin tüm topların x = 0.5 ve x = 0.6 arasında bulunma olasılıkları) zaman ortalaması, torbamızdaki durumlar (fotoğraflar) üzerinden alınan ortalamaya eşittir. Yani siz sistemi başlatıp diyelim 1000 saniye boyunca çalıştırıyorsunuz ve kutunun ortasından (x = 0.5 ve x = 0.6 arasından) geçme sayısının ortamalasını buluyorsunuz; aynı şeyi torbanızdaki durumlar üzerinde, yani elinizdeki fotoğraflardan kaç tanesinde ortalama olarak kutunun ortasında olduklarına bakıyorsunuz, bunlar birbirinin aynısı çıkıyorlar.

Soldaki grafik ilk yöntemle (dinamik gösterim) ile edinilmiş benzetimde seçilen bir topun x ekseninde 0 ile 1 arasında bulunma olasılık dağılımını, sağdaki ise ikinci yöntemle yani durumlar üzerinden elde edilen, tüm durumlar üzerinden seçilen bir fotoğraftaki topların x ekseni üzerindeki dağılımlarını gösteren grafikler. İkisi arasındaki birebir örtüşme işte dramatik sonuç! Tabii dikkatli gözler hemen şunu görebilir, topların kenarlarda bulunma olasılıkları ortada bulunmalarından daha yüksek! Alın size düşünmeniz için güzel bir problem! :) [grafiteki eta değeri kutu içerisindeki top yoğunluğu ile ilgili bir parametre, top sayısı arttıkça artıyor.]

Kısacası zaman ortalamaları, durum ortalamalarıyla aynı çıkıyor. İşte bu muhteşem güzellikte bir sonuç! Birincisinde fiziksel bir kanun çerçevesinde ilerleyen bir sistem ile diğerinde rastgele elde edilmiş durumların birbirine eşdeğer olduğunu görüyoruz. Yani ister sistemi uzun süre takip edip ortalama alın, isterseniz de elinizdeki tüm durumlar üzerinde ortalama alın. Fizikte bir sistemi uzun süre takip edebilmek genellikle kolay bir şey değildir; o sistemin tüm durumlarını hesaplamak ise çoğu zaman basit bir sayma problemi olarak ifade edilebilir. Bu yaklaşım bize bu gibi durumlarda büyük kolaylık sağlıyor elbette. Yukarıda verdiğim örnek örneğin bir kutu içerisindeki gaz moleküllerinin davranışını anlamak için kullanılıyor. Örnekteki gibi sadece 4 tane değil milyarlarca molekülün etkileşimini ilk yaklaşımda olduğu gibi hesaplamak imkansızken, ikinci yaklaşımdaki gibi olası tüm durumlar üzerinden sisteme dair genel sonuçlar elde etmek ise nispeten daha kolay. Ergodik teori sayesinde sistemi zaman boyunca takip etmek yerine, olası durumları belirleyip bunlar üzerinden ortalama alarak aynı sonucu elde edebiliyoruz. Böyle bir durum söz konusu olmasaydı istatistiksel mekanik yapmak neredeyse hayal olabilirdi diyebiliriz belki de!

Fizikte güzellik deyip, konuyu biraz uzatmış olsam da en azından kendi gözümden 'güzel' olduğunu düşündüğüm, beni ilk gördüğümde heyecanlandıran iki fenomeni paylaşmış oldum. Bu ikisi yapıları itibariyle çok temel prensiplerden yola çıkarak ortaya çıkardıkları olağanüstü sonuçlar itibariyle bence kesinlikle 'güzel' sıfatını fazlasıyla hak ediyorlar!

"Bilardo topları" animasyonları Coursera'daki 'Statistical Mechanics: Algorithms and Computation' dersinde temel alınan kodlarla oluşturuldu. Merak edenler Werner Krauth'un aynı isimli kitabını inceleyebilirler.

Haftadan geriye kalanlar - 29 Temmuz'12

Uzun zamandır aklımda, çalışmalarımla ilgili haftalık değerlendirme yazıları yazmak var; biraz daha "hafıza kaydı" niteliğinde, geriye dönüp baktığımda benim için de birşeyler ifade edecek türden şeyler.. Son bir aydır yaz okulunda olduğum ve takip ettiğim üç dersle oldukça yoğun bir dönem geçirdiğim için öğrendiğim yada karşılaştığımda heyecanlandığım fizik-matematik ya da benzeri başlıklardan konuları buradan paylaşayım istiyorum..

• Bu haftanın başında Matematiksel Metodlar dersinde "Perturbation Theory"ye başladık. Geçen haftaki vektör uzaylarının üzerine ufak bir uygulama niteliğinde bir dersti aslında, toplam iki saatlik. Perturbation Theory fizikte sıklıkla kullanılan bir araç; sistemlerin ufak değişimler (perturbasyonlar) altında nasıl davrandıklarını karakterize ediyoruz. Elimizde davranışını bildiğiniz bir sistem var ve bunun üzerine ufak bir perturbasyon uygulayarak vereceği karşılığa, ilk sistemin vereceği cevabın üzerine derece derece düzeltmeler ekleyerek yaklaşımlar oluşturuyorsunuz. Somut bir örnek vermek gerekirse; örneğin elimizde özdeğer(eigenvalue) ve bunlara karşılık gelen özvektörlerini (eigenvektörler) bildiğiniz bir matrisiniz var. Bu matrisin komponentleri üzerinde ufak değişimler yaptığımızda sistemin eigenvalue ve eigenvektörleri nasıl değişecek diye soruyoruz? Çözmek istediğimiz sistem şöyle bir şey: \[H |n \rangle = \lambda_n |n\rangle\] H matrisimiz ise çözümlerini bildiğimiz sistemimiz ($H^o$) ve üzerine uygulanan perturbasyonun( $H'$ ) toplamı: \[ H = H^o + H'\]  $H^o$ için çözümümüz ise: \[ H^o |n^o\rangle = \lambda_n^o |n^o\rangle\] Değişimlerin çok küçük olması nedeniyle bulacağımız sonucun değişime uğramamış sistemin cevabına çok yakın olacağını biliyoruz ama soru ne kadar yakın olduğu!  \[\lambda_n =\lambda_n^o + düzeltmeler\] \[|n\rangle = |n^o\rangle + düzeltmeler\] Küçük düzeltme terimleri $H'$ matrisi ile $H^o$ matrisinin baz vektörlerinin bir takım iç çarpımları sonucu elde edilebiliyorlar. Kuantum mekaniğinde özellikle hayati bir öneme sahip perturbasyon teorisi; bunun yanında birçok alanda daha kullanılıyor.
• İkinci olarak, Coursera'da takip ettiğim Kuantum Mekaniği ve Kuantum Hesaplama dersinde bu hafta dolaşık durumlar ve bunlarla ilişkili olarak EPR Paradoksu konu ediliyordu. İlk derslerde özellikle kuantum bilgi kavrramının en önemli özelliği olan bilgiyi taşıdığın durumların klasik olandan farklı olarak süperpozisyon durumunda bulunabileceği üzerinde durulmuştu. Örnek vermek gerekirse; elimizde bir elektronumuz var ve bu elektron atomun içerisinde iki enerji seviyesinden birinde bulunuyor olsun. Bu enerji seviyelerine sırasıyla $|0\rangle$ ve $|1\rangle$ diyelim.. Elektron bu durumlardan herhangi birinde bulunabileceği gibi her iki durumun birleşimi(süperpoziyonu) olan şöyle bir durumda da bulunabilir: \[ | \psi\rangle = \alpha_1 |0\rangle + \alpha_2 |1\rangle \] Durumların önündeki sayılar ( $\alpha_i$ ) elektronun bu durumlarda bulunma olasılıklarıyla ilişkili komplex katsayılar. Şimdi, bu örnekte görüldüğü kadarıyla eğer elimizde böyle bir superpozisyon durumunda bir durum varsa, bunu oluşturan temel durumları ve katsayları elde edebilirim. Fakat öyle superpozisyon durumları var mıdır ki, elimdeki durumdan, bu durumu oluşturan temel durumları elde edemeyim? Evet, böyle durumlar var ve bunlar dolaşık durumlar(entanglement) olarak adlandırılıyorlar. Böyle durumlardan birine örnek olarak Bell durumu gösterilebilir: \[|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle \] Bunların özelliği, superpozisyon halindeki durumu oluşturan temel durumlar birbirleriyle öyle iç içe geçmişler ki artık her ikisi de birbirinden ayrılamayan,birbirinden farklı hareket edemeyen bir sistem oluşturuyorlar. Örneğin bir ölçüm aldığınızda elinizdeki sonuca bakarak ikinci ölçümün ne olacağını %100 olasılıkla bilebiliyorsunuz. Ölçüm aldığınız parçacıklar evrenin iki ucunda bile olsa bir şekilde aralarında anlaşmışlar gibi beraber hareket ediyorlar.. Bu da Einstein'ın özel görelilik teorisine göre, bilginin ışık hızından daha hızlı iletilemeyeceği, imkansız bir şey.. Bu da bizi, meşhur EPR (Einstein - Podolsky-Rosen ) Paradoksuna görütürüyor.. 
• Astrofizik tarafında ise hafta başında bahsettiğim çalışmanın ilk adımlarını bu hafta hocamla ilk çalışmayı yaparak attık. İlk olarak radyasyon mekanizmaları üzerinden gidip ardından plazma konularına geçeriz diye düşünmüştük. Kitap olarak Longair'in "High Energy Astrophysics" (2nd Edition)'i takip ediyoruz.. İlk hafta "Ionisation Losses" adlı bölümü çalıştık. Yüksek yoğunluğa sahip plazma ortamlarında yüksek enerjiye sahip yüklü parçacıklar yolları boyunca karşılaştıkları elektronlarla Coulomb etkileşimlerinde bulunarak enerji kaybediyorlar (elektronlar da enerji kazanıyorlar) dolayısıla bu enerji ile elektronlar iyonlaşıyor, enerjisi artıyor ve ayrıca bulunduğu ortamı ısıtıyorlar. Elimizde belirli bir kaynaktan geldiğini ya da ilk enerjilerini bildiğimiz parçacıkların yol boyunca kaybettikleri enerjileri hesaplamak istediğimizde iyonlaşma kayıpları belli ortamlarda büyük bir paya sahip oluyorlar. Enerji kaybını hesaplamak için uzun bir integral almak gerek fakat kitapta Longair güzel bir yaklaşım ile sonucu kolaylıkla elde edilebilidiğini gösteriyor. Etkileşimin geometrisinin aşağıdaki gibi olduğunu düşünelim:

  

 (Kaynak : High Energy Astophysics - Longair )

Yüksek enerjili ve $ze^-$ yüklü parçacık(ya da iyon) $v$ hızıyla soldan geliyor. Elektronumuz $e^-$ yüklü ve $m_e$ kütleli.  İkisi arasındaki Coulomb kuvveti: \[F = \frac{ze^2}{4 \pi \epsilon_o b^2}\] Etkileşim sürecinin ortalama $\tau=\frac{2b}{v}$ olduğunu düşünürsek, etkileşim sürecince elektrona aktarılan momentum impulsu : \[ p = F\tau=\frac{ze^2}{2 \pi \epsilon_o b v}\] olacaktır. bu ifadeyi de yol boyunca karşılaştığı elektronlar için integre ettiğimizde toplam enerji kaybını kolaylıkla hesaplayabiliyoruz.

Bu hafta Bremsstrahlung radiation ile devam edeceğiz çalışmamıza.. Longair'daki anlatım lisans seviyesi için oldukça ileri seviye olduğu için bu seferlik Hale Bradt'in harika referans kitabı Astrophysics Processes'den çalışıyorum.

Bir haftadan geriye kalanlar kısaca bu şekilde.. Bunların üzerine iki tane de sınavımın olması bu haftayı öncekilerden çok daha yoğun bir hale getirdi; bu hafta sadece bir sınavımın olması nedeniyle daha verimli çalışabileceğimi umuyorum.. Önümüzdeki haftasonuki değerlendirmeye kadar göreceğiz...