Pi Sayısını Bilardo Topları ile Hesaplamak

Bugün bildiğiniz gibi, yüz yılda bir görebileceğim tarihsel bir gün.. 14 Mart 2015; mevcut kullandığımız takvim sistemine göre 03.14.15 şeklinde kodlayabileceğimiz ve rakamları matematikteki ünlü $\pi$ sayısının ilk birkaç rakamına denk gelen ‘özel bir tarih’.. 3,14 ile başlayıp sonsuza kadar kendini hiç bir şekilde tekrar etmeden giden bu ilginç sayı adına her yıl Mart ayının 14’ü ‘Pİ Günü’ olarak kutlanıyor. Bu yıl 2015 olması itibariyle dört ve beşinci basamakları olan 15’de bu günü çok daha ‘anlamlı’ kıldı denebilir.

Not: Yazıdaki matematik sembollerini düzgün görüntülemek için LateX yazı tiplerinin 15-20 sn kadar yüklenmesini bekleyin..

Pi sayısı, herkesin okul yıllarından iyi ya da kötü hatıralarla hatırladığı, çizebileceğiniz her çemberin çevresinin çapına oranına eşit olan bir sayı. Sayı doğrusunda tam sayılar ve rasyonel sayıların dışındaki tüm boşlukları dolduran gerçel sayıların bir üyesi ve ondalık gösteriminde virgülden sonra rakamları kendini tekrar etmeden sonsuza kadar gidiyor. Bu özelliği sayesinde örneğin $\pi$ sayısı içinde kendi doğum tarihinizi ard arda gelecek şekilde gün-ay-yıl-saat-dakika-sn sıralamasında kesin olarak bulunduğunu biliyorsunuz  (denemek isteyenler için) fakat bunun hangi basamakta olacağını kesin olarak tahmin etmek çok güç.. Bu konu başlı başına bir $\pi$ Günü yazısı olabilir fakat benim bahsedeceğim, $\pi$'nin bana göre çok daha ilginç ve ağzı açık bırakan başka bir özelliği: Pi sayısının istenilen herhangi bir basamağını basit bilardo topları ile hesaplayabilen bir yöntem..

Kullanacağımız yöntem matematiksel fizikte ifade edilmesi oldukça kolay fakat çözümü ile ortaya çıkan sonuçları muhteşem karmaşıklıktaki problemlerden biri: Bilardo problemi.. Özellikle dinamik sistemler ve istatistiksel mekanikte çokça referans verilen ve içinde oldukça derin yöntem ve sonuçlar barındıran bu problemlerden en basitini düşünelim: Elimizde biri diğerinden daha ağır iki tane ideal bilardo topu ve düz bir doğru üzerinde bir tarafta bir duvarımız var. Bilardo toplarını duvara göre kütlesi az olan ortada olacak şekilde yerleştiriyoruz ve kütlesi büyük olanı hızla gönderip ufak olana çarptırıyoruz.

Ardından bilardo toplarının birbiriyle ve ufak bilardo topunun duvarla yaptığı çarpışmaları saymaya başlıyoruz. Tüm çarpışmaların hem kinetik enerjinin hem de momentumun korunduğu esnek çarpışma olduğunu düşünüyoruz. Topların birbiriyle ve duvarla belirli bir çarpışma yaptıktan sonra belirli bir çarpışmadan sonra artık ikisinin de diğer yöne yani sağa doğru giderek bir daha çarpışmayacağını biraz hesap yaparak gösterebiliriz. Bütün bunların $\pi$ ile ne ilgisi var diye sormaya başladınız tabi. Problemin vurucu kısmı şu: Eğer kütlelerin oranını $M/m = 100^N$ olarak belirlersek ($M$ büyük kütleli cismin kütlesi, $m$ küçük kütleli cismin kütlesi, $N$ ise 1,2,3,... gibi bir doğal sayı) belirlediğimiz bir $N$ sayısı için sistemdeki toplam çarpışma sayısını hesapladığımızda cevap olarak, hazır olun, $\pi$ sayısının ilk $N$ basamağını elde ediyoruz.

Örneğin $N=1$ olsun; bu durumda $M/m=100^1=100$ yani büyük top, küçük topun kütlesinin 100 katı kadar.. Bu durumda sistemdeki çarpışma sayısı $\pi$'nin ilk 1 basamağı, yani 3. Eğer  $N=2$ ise yani $M/m=100^2 = 10000$ ise çarpışma sayısı $\pi$'nin ilk 2 basamağı: 34. $N=3$ için çarpışma sayısı 314, $N=4$ için ise 3141. Günün sayısı 31415 için ise $N=5$ almamız yeterli.. Bu yöntemle çarpışan cisimlerin kütle oranlarını $N$'ye bağlı olarak değiştirerek $\pi$ sayısının istediğimiz basamağını tam olarak hesaplayabiliyoruz... Bu yöntemi etkileyici kılan şey, yazının da başında belirttiğim üzere $\pi$ sayısının basamakları kendini tekrar etmediğinden dolayı istediğiniz bir basamağını ancak elle ya da bilgisayarla hesaplamak durumundasınız.. Artık elinizde bir başka yönteminiz daha var: iki bilardo topunu çarpıştırmak!

$\pi$ Gününüz kutlu olsun!

Meraklılar İçin Kaynaklar:

Problem ve çözümüyle ilk karşılaştığım yer Numberphile videosu: Pi and Bouncing Balls

Bu yöntemi ortaya koyan G. Galperin'in problemin çözümüne dair yazdığı harika makale: Playing Pool with Pi

'Bilardo topları' probleminin dinamik sistemler ve kaos konusuyla ilişkili olarak nelere kadir olduğuna dair Plus dergisindeki yazı: Chaos on the Billiard Table

Tübitak Yayınlarından zamanında yayınlanan 'Pi Coşkusu' kitabı..

Gökyüzünde Parlak bir Kuyrukluyıldız: Lovejoy

Rosetta görevi sayesinde, geçtiğimiz yılın en çok konuşulan astronomi başlıklarından biri olan kuyrukluyıldızlardan oldukça parlak birini kendi gözlerinizle görmeye ne dersiniz? 2014’de Avusturalya’lı amatör astronom Terry Lovejoy tarafından Pupa takımyıldızında keşfedilen, katalog ismi C/2014 Q2 olan fakat herkes tarafından Lovejoy Kuyrukluyıldızı olarak bilinen bu cisim Aralık ayının sonundan itibaren artık kuzey yarımküre gökyüzümüzü süslüyor. Şu anda olabileceği en yüksek parlaklık değeri olan belirtilen 3.8 kadir parlaklığı ile karanlık bir yerden çıplak gözle(herhangi bir optik alet kullanmadan) ya da şehirden basit bir dürbünle dahi seçilebilecek durumda!

 

22 Aralık’ta Gerald Rhemann’ın çektiği müthiş Lovejoy fotoğrafı (Telif Hakkı: Gerald Rhemann)

 

Yapmanız gereken, saat 21:00’den sonra üstünüzü sıkı sıkı giyinip dışarı çıkarak yüzünüzü güneye dönüp kuzey gökyüzünün en büyük takımyıldızlarından biri olan Avcı(Orion)’ı bulmak. Ardından hemen onun sağ üstünde oldukça parlak sarı Aldeberan yıldızı ve yakınında çıplak gözle birkaç yıldızın bir arada seçilebildiği Ülker yıldız kümesini seçip, bu ikisiyle sağa doğru üçgen yapacak şekilde Lovejoy’u aramak. Kuyrukluyıldızı etraftaki nokta şeklindeki yıldızlardan farklı olarak ufak bir bulut şeklinde fark edeceksiniz. Aşağıdaki haritada Lovejoy’un Ocak ayı içinde gün gün konumu veriliyor. Kuyrukluyıldız, tıpkı gezegenler gibi Güneş etrafında bir yörüngede dolandığından konumu sürekli değişiyor. Hatta dikkatli gözler, bu değişimin birkaç saat içerisinde bile belirgin olduğunu fark edebilir.

 

Lovejoy kuyruklu yıldızının kabaca yerini gösteren Stellarium görüntüsü (14 Ocak 2015 saat 21:00 İstanbul)

 

Lovejoy’un Ocak ayı boyunca gökyüzünde izlyeceği yol sarı renkli eğri ile gösterilmiş. Eğri üzerindeki rakamlar günleri göstermekte (Kaynak: S&T Magazine).

 

Karanlık ve hareketsiz bir gökyüzü koşullarında gözlem yapabildiğiniz takdirde Lovejoy’un daha yoğun olarak seçilebilen ve koma olarak adlandırılan bölgesinin fotoğraflarda gördüğümüz yeşil rengini dahi seçebilirsiniz. Bu yeşil renk kuyruklu yıldızın yapısındaki diatomik-karbon moleküllerinin Güneş’in ultraviyole ışınlarıyla etkileşip yayınladıkları ışınımdan ve gözlerimizin de yeşil renge olan yüksek hassasiyetinden kaynaklanıyor.

 

30 Ocak’ta Güneş’e en yakın konumdan geçecek Lovejoy, ilerleyen günlerde bizden yavaş yavaş uzaklaşmasıyla parlaklığı giderek azalcak olsa da bizlere ve astronomi fotoğrafçılarına oldukça güzel görüntülere sunacak gibi duruyor. Lovejoy’u gözleyerek çıplak gözle bir kuyruklu yıldız görme fırsatını kaçırmayın derim; her sene en az bir  tane parlak kuyrukluyıldız İç Güneş Sistemini ziyaret etse de Lovejoy yörüngesi nedeniyle ancak 8000 yıl sonra tekrar geri dönecek!

 

Detaylar ve güncellemeler için Sky and Telescope Magazine’deki yazıyı takip edebilirsiniz:

Doğu Anadolu Gözlemevi

2015’i GökGünce’de, geçen ay ilki düzenlenen ve ocak ayından ikincisiyle yoluna aynı hızla devam eden ‘Türk Astronomi Derneği Kandilli Astrofizik Günleri’nin bugünkü konuşmasıyla açıyoruz. İstanbul’u günlerdir terketmek bilmeyen yağmur, kar ve soğunun etkisinin had safhada hissedildiği 12 Ocak sabahında, Türkiye’nin tarihindeki en iddialı bilim projelerinden biri olan Doğu Anadolu Gözlemevi (DAG) hakkında konuşmak üzere iki konuşmacıyı Kandilli Rasathanesi Astronomi Labaratuarında misafir ettik: Erzurum Atatürk Üniversitesi Astronomi ve Astrofizik Bölümünden Cahit Yeşilyaprak ve ODTU Fizik Bölümünden Sinan Kaan Yerli.

 

 

Seminere konu olan, Türkiye’deki gözlemsel astronomi alanında hakim olan optik dalga boyunda gözlemlerin yanında, yakın-kızıl ötesi dalga boyunda gözlemlere de imkan verecek Doğu Anadolu Gözlemevi’nin çalışmalarına 2012’de başlanmış olup 2019’da teleskop ile ilk ışığın alınması planlanıyor. Erzurum’da Karakaya tepelerine yerleştirilmesi için son hazırlıkları yapılan DAG, 3170 metre yükseklikte Dünya’nın üçüncü en yüksek gözlemevi statüsüne sahip olacak. Günümüz standartlarında orta-ölçekli büyüklükte 4 metrelik bir aynaya sahip olacak teleskobun odak düzlemine eş zamanlı olarak yerleştirilebilecek altı optik aygıt, yüksek çözünürlüklü tayf-ölçümleri ve CCD görüntüleme yapılabilmesini sağlayacak. Ayrıca teleskoba eklenecek, tamamı Türkiye’de geliştirilen ‘adaptive optics’ aygıtı ile oldukça yüksek bir görüntü çözünürlük performansı elde edilmesi bekleniyor.

 

Kızıl ötesi, görünür-optik tayftan biraz daha fazla olan dalgaboyu ile genellikle yoğun gaz ve toz barındıran galaksi, süpernova, yıldız ve gezegen oluşumu bölgeleri gibi alanları çok daha detaylı bir şekilde incelenebilmesine imkan tanıyor. Özellikle günümüzün ‘gözde konuları’ olan ötegezegenlerin ik oluşum süreçlerinden, atmosferlerinin detaylı gözlemlerine kadar birçok ilginç konuda araştırmaların yapılabileceği bu alanın geleceği ve değeri açısından, NASA’nın önümüzdeki yıllarda Hubble’ın yerini doldurması amacıyla göndermeyi planladığı James Webb Teleskobu(JWST) için yapılan milyarlarca dolarlık harcamalar bir gösterge olabilir sanırım..

 

Katıldığım birçok gözlem şenliği ve çeşitli astronomi etkinliklerinde Ethem Derman ve Zeynel Tunca Hocalarımdan dinlemekten hiç bıkmadığım Tübitak Ulusal Gözlemevi(TUG)’nin kurulumu hikayesi beni hep duygulandırmıştır. Bugün dinlediğim Doğu Anadolu Gözlemevi projesinin kuruluş sürecinin gelişimi de bana haklı olarak Türkiye’de bilim ve astronomi adına bir tarihe tanıklık ediyormuşum izlenimi uyandırdı. Projenin bilimsel hedefleri ve teleskobun Türkiye’nin (eğer varsa) astronomi araştırmaları vizyonuna nasıl katkı sağlayacağı konusu bana hala üzerinde yeterince düşünülmemiş gibi gelse de; Cahit ve Sinan Hocaların üstün çabaları ve proje için geliştirdikleri geleceğe dönük vizyonlarına istinaden, biz gelecek nesil astronom/astrofizikçiler için bu ülkede bir umut ışığı yaktıkları için kendilerine ne kadar teşekkür etsek azdır sanırım...

 

Yaklaşık iki saat süren bu dolu dolu konuşmanın kaydına Türk Astronomi Derneği’nin Youtube sayfasından erişebilirsiniz. Bir sonraki Kandilli Astronomi Günleri  konuşması 16 Şubat’ta, takviminize şimdiden işaretleyin!

 

DAG hakkında detaylı bilgiye internet sitesinden ulaşabilirsiniz: http://dag-tr.org/

İyi seneler!

İstanbulda Kar ve Kar Kristalleri Üzerine

Bu akşam İstanbul’da kar var.. Her yıl, yağan ilk kar adına GökGünce’de artık gelenekselleşen ‘Kar Kristalleri Üzerine’ yazılarına bu yıl Kepler’in konuyla ilgili bir kitabından bahsederek devam etmek istedim (Eski yazılar için: 1. yazı, 2. yazı, 3. yazı).

 

Telif hakkı: Alexey Kljatov

 

Hayatının kırkıncı yılında, bunun öncesinde Astronomia Nova eseri ile “evrenin düzenine” olağanüstü bir geometrik yaklaşım getirmiş Johannes Kepler, gözünü doğada rastlanan biraz daha “küçük ölçekli” örüntülere dikmişti. Bir gün Prag’da arkadaşını görmeye giderken Charles köprüsünde paltosunun yakasına ilişen kar tanelerini dikkatle inceleyip, böylesi düzgün bir altıgen geometrinin neden ve nasıl oluşabileceğini kendine sormuş ve 1611’de arkadaşı Baron Wackher von Wockhenfels için bir yeni yıl armağanı olarak ‘Strena seu de nive sexangula’ (Altıgen kardan yeni yıl hediyesi’') eserini kaleme almıştı.

 

 

Kepler, bu kitapta, kar tanelerinin mükemmele yakın altıgen simetrilerilerini detaylıca ele alıp, doğada gözlenen arıların altıgen peteklerinden, nar tanelerinin nar içindeki dizilimlerine kadar farklı farklı örneklerden yola çıkarak bir çözüm aramıştır. Her ne kadar kitapta modern anlamda atom teorisi ve kristalografinin temel fikirlerini geliştmiş olsa da, ortaya koyduğu probleme tatmin edici bir cevap bulamamıştır. Sonunda, biraz da mistik bir sonuç olarak, kar tanelerinin simetrisini, bitkiler ve matematikte sayılarda gözlendiği üzere doğada var olan ‘yapısal amaç’ (formative drive) dediği, Tanrı’nın su buharına sonunda bir kar tanesi formu oluşturması için aşıladığı ilahi amaca bağlamıştır. (Kar tanelerinin altıgen geometrisinin asıl nedenini merak edenler için: Snowflake Symmetry – Optics Picture of the Day)

 

Kaynak: Public Domain Review

 

Kepler bu kısa çalışmasını şu güzel sözlerle kapatır: ‘Bunları yazarken, kar tekrar yağmaya başladı, biraz öncekinden daha da hızlı hem de; ben de meşgul bir şekilde küçük kar tanelerini incelemeye devam ediyorum..’ Tıpkı biraz önce dışarda paltomun yakasına konup bu yazıyı yazmama ilham veren kar taneleri gibi..

 

Kepler’in ‘Strena seu de Nive sexangula’ eserinin orjinali için tıklayınız.

 

Nature’da Philip Ball’un 2011’de bu eserin 400. yılı anısına kaleme aldığı harika bir yazı için: In retrospect: On the Six-Cornered Snowflake

 

ISIS’de yayınlanmış kapsamlı bir yazı için: Kepler’s New Year’s Gift of a Snowflake Cecil J. Schneer, Isis, 51: 1960, 531-545

 

Yazıdaki kar kristalleri görselini aldığım ‘Snowflakes: a Chapter from the Book of Nature’ kitabındaki renkli çizimler için: Public Domain Review